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Unidad Tres: Dualidad y Análisis de Sensibilidad (Análisis de sensibilidad)





Análisis de Sensibilidad

El análisis de sensibilidad es un método para investigar el efecto que tiene los cambios en los diferentes parámetros sobre la solución óptima de un problema de programación lineal. Se pueden cambiar los coeficientes de la función objetivo, los valores del segundo término de las ecuaciones de restricción. Es frecuente que los coeficientes de la función objetivo o los valores del segundo término en las ecuaciones de restricción sean estimadas, y por ello, la sensibilidad de la solución ante cambios en estos parámetros es de especial valor. El impacto que tienen los cambios en los coeficientes del cuerpo de las restricciones es de menor importancia porque se obtienen de la tecnología del problema, es más probable que estos coeficientes sean valores reales y no estimaciones, por estas razones, se consideran solo los cambios en los coeficientes de la función objetivo y en los valores del segundo término.

Ejemplo:

El gerente de Agroindustria S.A. necesita planear la combinación de fertilizantes para el siguiente mes. Los dos fertilizantes de la agro-fábrica son las mezclas denominadas: 5-5-10 y la 5-10-5.

El 5-5-10 está elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio, el 80% restante es barro. El 5-10-5 está elaborado con 5% de nitrato, 10% de fosfato y 5% de potasio. Este mes la disponibilidad de materias primas es:
  • 1100 toneladas de nitrato
  • 1800 toneladas de fosfato
  • 2000 toneladas de potasio

Las utilidades de cada producto son:

Fertilizante
Utilidad
5-5-10
$ 18.50
5-10-5
$ 20.00
Solución:

s.a.


                                                                      

Forma Estándar:


        
La tabla óptima es:



Lo que quiere decir que:

  •  Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-10
  • Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5
  • Y se tienen 500 toneladas de potasio de “holgura”
  • Arrojando una utilidad de $ 428,000.00

Este mes el gerente tiene un problema nuevo, aunque las disponibilidades y costos de las materias primas han permanecido iguales, la compañía desea considerar la fabricación de un tercer producto, un fertilizante 5-5-5 que pueda generar utilidades de $14.50; y sus contenidos son: 5% de nitrato, 5% de fosfato y 5% de potasio.

Solución:




Forma Estándar:


La tabla óptima es:
Tabla A


Lo que quiere decir que:
  • Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-10
  • Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5
  • Y se tienen 500 toneladas de potasio de “holgura”
  • Arrojando una utilidad de $ 428,000.00

Obsérvese que los resultados obtenidos en la Tabla A, son idénticos a los del problema original.


Cambios en los coeficientes de la función objetivo de una variable no básica.

Considérese que al gerente le gustaría saber cuanto debe aumentar las utilidades de 5-5-5 con el objeto de hacerlo lo suficientemente redituable para que quede incluido en la mezcla óptima de productos de programación lineal. Las utilidades que se obtendrían al fabricar cualquier cantidad de una variable no básica son menores o iguales que las utilidades a las que sería necesario renunciar.

En la Tabla A, X3, X4 y X5 no son básicas.

La sensibilidad de la solución óptima a cambios de los coeficientes de la función objetivo pueden determinarse añadiendo una cantidad Δi al coeficiente Ci que se tiene en la función objetivo, por ello el nuevo coeficiente de la función objetivo es Ĉi= Ci + Δi.

Es posible determinar que tan grande puede ser Δi a partir del requerimiento de optimización de que Ci - Zi. (Último renglón) sea cero o positivo en un problema de maximización.

Para el coeficiente modificado Ĉi  esto significa Ĉi – Zi ≥ 0 (último renglón).

Considerado a X3, nos gustaría determinar la magnitud del aumento en las utilidades que se requería para fabricar el fertilizante 5-5-5. Se requiere determinar Δ3 y C3. Se comienza añadiendo un coeficiente Δ3 al coeficiente C3 asociado con X3 en la tabla.

Antes de que X3 pueda volver a ser básica el valor Ci - Zi (Último renglón), asociado con X3 debe volverse no negativo. Expresado en términos de los valores reales de la tabla, esto significa que:

                                               Δ3 – 4.0 0
        Δ3 = 4.0
Ahora:
Ĉi= Ci + Δi.
Ĉ3= C3 + Δ3
Ĉ3 14.50 + 4.00
C3= 18.5

Esto indica que si la utilidad de X3 (fertilizante 5-5-5) se incrementara en más de $4.00, entonces entraría como variable básica y su producción se haría más redituable, en cambio, si se incrementa exactamente en $4.00 la utilidad total no se vería incrementada, pudiéndose o no fabricar X3.


Comprobación, se incrementan las utilidades del 5-5-5 a $19.00


 
Lo que quiere decir que:
  • Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-5
  • Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5
  • Y se tienen 900 toneladas de potasio de “holgura”
  • Arrojando una utilidad de $ 432,000.00
Las utilidades sufren un incremento de $4000.

Comprobación, se incrementan las utilidades del 5-5-5 a $18.50

No hay cambios en los resultados


Cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica.

Para analizar el efecto que tiene los cambios en la contribución a las utilidades para una variable básica, es posible, como se hizo en el análisis de las variables no básicas, añadir al coeficiente CJ un incremento ΔJ. Se denota a la nueva contribución a las utilidades como ĈJ= CJ + ΔJ. En el caso de la variable no básica la adición de Δ afectó solo una columna de la tabla, sin embargo, en el caso de una variable básica, puede resultar afectada más de una columna. Por ello, para determinar los límites de ΔJ se deben examinar todos los valores que CJ - ZJ que se ven afectados por ΔJ.

Ahora, se considerará un cambio en el coeficiente de utilidades de una variable básica X1, para ilustrar esto consideremos la siguiente tabla:




X1
X2
X3
X4
X5
X6

X1
1
0
1
40
-20
0
8,000
X2
0
1
0
-20
20
0
14,000
X6
0
0
-.05
-3
1
1
500
CJ -ZJ
0
0
4 + Δ1
340 + 40 Δ1
30 - 20 Δ1
0
428,000 + 8,000 Δ1


Es esta tabla se están analizando cambios en las utilidades para el fertilizante 5-5-10, en estos momentos este fertilizante tiene una utilidad de $18.50, se ha añadido un coeficiente Δ1  para utilizarlo en el análisis de cambio en las utilidades para X1. El Δ1 se ha añadido en los que ocurre C1. Para que la solución actual siga siendo óptima debe asegurarse de que ningún valor CJ - ZJ se vuelva negativo.

La pregunta es, ¿Cuánto puede cambiar C1 en una dirección positiva o negativa para mantener la condición de optimización?

Puede determinarse la magnitud de estos cambios Δ1, despejando una desigualdad para cada uno de los valores no básicos CJ -ZJ, es decir:

                                   Para X3:     4 + Δ1 0 por lo tanto Δ1≥ - 4
                                   Para X4:     340 + 40Δ1 0  por lo tanto Δ1≥ - 340/40 ≥ -8.5
                                   Para X5:     30 - 20Δ1 0   por lo tanto Δ1≥ - 30/-20 ≥ 1.5

Lo que quiere decir que Δ1 puede variar desde -4 hasta + 1.5; es decir:

- 4 ≤ Δ1 ≤ 1.5
 De esta manera, para que la tabla siga siendo óptima, la utilidad de X1 puede variar desde:
                        Ĉi = C +Δ1
                        Ĉi = 18.50 +Δ1
Valor mínimo:
                        Ĉi = 18.50 – 4 = 14.50
Valor máximo:
                        Ĉi = 18.50 + 1.5 = 20.00
Por ejemplo si:
                        Δ1 = -2             por lo tanto     Ĉi = 16.50 y
                        Xo = 428000 + 8000(-2) = 412000

Δ1 = 1  por lo tanto     Ĉi = 19.50 y
                        Xo = 428000 + 8000(1) = 436000

En base al problema anterior pueden generalizarse los resultados en las dos reglas siguientes:

1ª) Si existen varias condiciones de de la forma ΔJ - Gi, entonces la condición que tenga el valor - Gi, que esté más cercano a cero es el que debe utilizarse para determinar el intervalo apropiado de utilidades.

2ª) Si existen varias condiciones de de la forma ΔJ Hi, entonces la condición que tenga el valor Hi más cercano a cero es la que debe utilizarse para determinar el intervalo apropiado de utilidades.

Si el cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica o no básica es mayor que lo permisible, para mantener la optimización, entonces, debe volverse a calcular la tabla, partiendo de la tabla anterior y continuar pivoteando hasta encontrar la tabla óptima.

Suponga, que las condiciones de mercadeo permiten un incremento de utilidad del fertilizante 1, de hasta $25.00. Que está fuera de los límites y por ello la mezcla actual de productos no sería ya óptima; de la tabla anterior, se obtiene:

                                               X1 puede aumentar hasta $25.00
- 4 ≤ Δ1 ≤ 1.5
14.50 ≤ Δ1≤20

Aquí Δ1= 25 – 18.50 = 6.5 que es mayor de 1.5 (valor permitido)

 
NUEVA TABLA



 



X1
X2
X3
X4
X5
X6

X1
1
0
1
40
-20
0
8,000
X2
0
1
0
-20
20
0
14,000
X6
0
0
-.05
-3
1
1
500

0
0
10.5
600
-100
0
480,000

X3 = 4 + 1(6.5)= 10.5
X4 = 340 + 40 (6.5) = 600
X5 = 30 – 20(6.5) = -100
X0 = 480000 + 8000(6.5) = 532 000


Se observa en la tabla que ya no es óptima en X5, por lo tanto ésta se convierte en básica y ahora la que sale es X6.

En forma análoga, ahora suponga que existe una crisis en el mercado por lo que las utilidades de X1 (fertilizante 5-5-10) han tenido que ser reducidas a $ 12.50, lo que indica que la tabla queda de la siguiente manera:


X1
X2
X3
X4
X5
X6

X1
1
0
1
40
-20
0
8,000
X2
0
1
0
-20
20
0
14,000
X6
0
0
-.05
-3
1
1
500

0
0
-2
100
150
0
380,000

Δ1= 12.50 – 18.50 = 6

X3 = 4 -  1(6)= - 2
X4 = 340 -  40 (6) = 100
X5 = 30 + 20(6) = 150
X0 = 380000 - 8000(6) = 332 000

Cambio en los niveles de recursos.

Con frecuencia la sensibilidad de la solución óptima a cambios de los valores del segundo término de las ecuaciones de restricción es muy importante para los administradores de negocios.

Al igual que en el caso de cambios en los coeficientes de la función objetivo, la sensibilidad de la solución óptima a cambios en los recursos se mide a través de una cota superior y una cota inferior para el nivel de recursos que se modifica.

Para calcular el efecto de modificar el nivel de un recurso, se añade una cantidad Δi al recurso que se quiere cambiar y después se vuelve a aplicar el proceso de solución.

Considérese un cambio en el nivel de nitrato disponible. El nuevo nivel de recurso para el nitrato es de 1100 + Δ4.

Partiendo de la tabla A, que es óptima, se obtiene la siguiente tabla:


X1
X2
X3
X4
X5
X6

X1
1
0
1
40
-20
0
8,000 + 40Δ4
X2
0
1
0
-20
20
0
14,000 – 20Δ4
X6
0
0
-.05
-3
1
1
500 – 3Δ4

0
0
4
340
30
0
428,000 + 340Δ4

 
Los coeficientes de Δ4 corresponden a los elementos de la columna de X4 que es la variable de holgura del recurso que se quiere modificar (nitrato).

Observamos en la tabla que la función objetivo X0 aumenta en $340 por cada tonelada adicional de nitrato disponible para poder usarlo o se reducirá en $340 por cada tonelada de nitrato que ya no pueda usarse.

Puesto que los valores de la solución siempre deben de ser no negativos se estructura una desigualdad, para cada función mayor o igual a cero o menor o igual a cero y se obtiene de estas el intervalo para Δi que satisface cada una de ellas, es decir:
Para X1:     8000 + 40Δ4 0 por lo tanto Δ4≥ - 8000/40 ≥ -200
                                   Para X2:     14000 - 20Δ4 0  por lo tanto Δ4≤-14000/-20 ≤ 700
                                   Para X6:     500 - 3Δ4 0   por lo tanto Δ4≤- 500/-3 ≤ 166.67


Así el intervalo para Δ4 es:

- 200 ≤ Δ4 166.67
Lo que quiere decir que el nitrato puede variar desde:

Valor mínimo
NITRATO
Valor máximo
200
hasta
166.67

Y la tabla A seguirá siendo óptima.

En la tabla anterior se observa que el valor de X0 para X4 es de 340 por ello, una unidad adicional de nitrato varía en $340, esto también puede interpretarse de la manera siguiente: “si cada unidad adicional de nitrato aumentara las utilidades de la compañía en 340 pesos, entonces la empresa estaría dispuesta a pagar hasta $340 más de lo que actualmente paga por el nitrato”.

Por ejemplo, si hubiera nitrato adicional disponible al precio de $400 por tonelada (200 más de lo que antes valía), la agro seguirá comprando el nitrato adicional dándose cuenta de que solo tendría 340 – 200 = 140 de utilidades por cada tonelada adicional del fertilizante, así:

“El precio sombra para un recurso determinado refleja el impacto que tiene sobre la función objetivo un cambio unitario en el recurso, este impacto en el precio se mantiene mientras el cambio en el recurso se encuentra dentro de los límites determinados por el análisis de sensibilidad”.

Si se efectúa un cambio fuera de los límites fijados por las desigualdades, sería necesario volver a resolver el problema en forma completa porque la mezcla óptima de productos cambiaría.

Para problemas que tienen sólo restricciones de , la sensibilidad de la solución óptima a cambios en los niveles de los recursos puede generalizarse de la siguiente manera:

1)      Si se tiene una solución óptima, el aumento en utilidades que resulta de una tonelada adicional de K-ésimo recurso, puede obtenerse tomando el valor que aparece en el renglón de X0 de la k-ésima variable de holgura (este valor señala también la disminución en las utilidades debido a una disminución de una unidad en la disponibilidad del k-ésimo recurso), estos valores se denominan precios sombras.
2)      Para resumir el cálculo de los límites superior e inferior sobre la disponibilidad de algún recurso escaso, sean Bk y Δk la disponibilidad original del k-ésimo recurso y el cambio en el k-ésimo recurso respectivamente, también sean bi y aik respectivamente el valor óptimo del segundo término para la i-ésima variable básica y el coeficiente de la variable Xk en el primer renglón, entonces se establecen desigualdades de la siguiente forma para cada una de las M variables básicas bi + (aik)(Δk)0.

Las desigualdades pueden resolverse para determinar los límites de Δk, es decir:

Límite inferior  ≤ Δk ≤ Límite superior

Cambios obligados en las variables.

En toda tabla simplex, generada de la tabla original se afirma que:

“Los coeficientes de una tabla simplex son tasas físicas de sustitución para transformar asignaciones actuales de recursos (variables básicas) en asignaciones nuevas de recursos (variables no básicas)”.

Si Cij es el coeficiente para el i-ésimo renglón y la j-ésima columna, entonces Cij señala la tasa en que la i-ésima variable básica puede convertirse en la j-ésima variable no básica.

Un coeficiente positivo significa que el valor de la variable básica se reducirá al aumentar el valor de la variable no básica, un coeficiente negativo señala lo contrario, es decir que el valor de la variable básica aumentará al aumentar el valor de la variable no básica, por ejemplo, de la Tabla A para una variable no básica, digamos X3, debe examinarse la columna X3 y la columna de las variables básicas, es decir:


X1
X2
X3
X4
X5
X6

X1


1




X2


0




X6


-0.05







4.0














En este caso, la variable básica X1 puede convertirse en la variable no básica X3 en una base 1 a 1, es decir, puede convertirse una unidad de X1 en una unidad de X3, reduciendo la producción de X1 en una unidad.

La variable básica X2 no se convertirá en ninguna X3 puesto que el coeficiente en cero.

En general, si fuese necesario una tonelada del fertilizante 5-5-5 (X3) entonces se reduciría en una tonelada la producción de X1, para X2 sería la misma producción y la disponibilidad del tercer recurso aumentaría en 0.05 toneladas.

Si la agro se viera obligada a fabricar el fertilizante tipo 3 sin tener aumentos en las utilidades habría una reducción de la utilidad total de $4.00 por cada tonelada del fertilizante tipo 3 que se fabricara.

Si la administración decidiera que es necesario fabricar 1000 toneladas de X3 para un cliente que es importante, entonces la producción actual y las utilidades se verían afectadas de la siguiente manera:




Fertilizante
Producción actual
Producción nueva
5-5-10
8000
7000
5-10-5
14000
14000
5-5-5
0
1000
Potasio
500
550
Utilidad
428000
424000


Suponiendo  que  no hay recursos nuevos disponibles de esta manera la producción del fertilizante 5-5-10 (X1) se reducirá en 1000 toneladas la de 5-10-5 (X2) no varía y la cantidad de potasio no utilizado aumentará en 50 toneladas, esto implica que la utilidad se viera reducida en $4.00 (4x1000).